Investigación completa de la función y cálculo diferencial

Habiendo recibido un amplio conocimiento en el trabajo con funciones,armado con un conjunto suficiente de herramientas que permiten un estudio completo de una regularidad matemática especificada específicamente en la forma de una fórmula (función). Por supuesto, uno podría ir de la manera más simple, pero minuciosa. Por ejemplo, establezca los límites del argumento, seleccione un intervalo, calcule los valores de la función y trace el gráfico. Con poderosos sistemas informáticos modernos, este problema se resuelve en cuestión de segundos. Pero para eliminar de su arsenal, un estudio completo de la función de las matemáticas no tiene prisa, ya que es mediante estos métodos que es posible evaluar la exactitud del funcionamiento de los sistemas informáticos para resolver problemas similares. Con la construcción mecánica del gráfico, no podemos garantizar la precisión del intervalo especificado anteriormente en la elección del argumento.

Y solo después de que se lleva a cabo una investigación completa de la función, uno puede estar seguro de que todos los matices del "comportamiento" se toman en cuenta no en un intervalo de muestreo, sino en todo el rango del argumento.

Para resolver una variedad de tareas en los campos deFísica, Matemática y Tecnología, se hace necesario investigar la relación funcional entre las variables involucradas en el fenómeno bajo consideración. Este último, dado analíticamente por uno o un conjunto de varias fórmulas, nos permite llevar a cabo investigaciones utilizando métodos de análisis matemático.

Llevar a cabo una investigación completa de una función es averiguar y determinar las áreas en las que aumenta (disminuye), donde alcanza un máximo (mínimo), así como otras características de su cronograma.

Hay ciertos esquemas por los cualesse realiza una investigación completa de la función. Los ejemplos de listas de investigaciones matemáticas realizadas se reducen a encontrar momentos casi idénticos. Un plan aproximado de análisis implica los siguientes estudios:

- encuentre el dominio de la definición de la función, investigue el comportamiento dentro de sus límites;

- Encontramos los puntos de discontinuidad con la clasificación por medio de límites unilaterales;

- llevamos a cabo la definición de asíntotas;

- encontramos puntos extremos e intervalos de monotonicidad;

- Determinamos los puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad;

- realizamos la construcción del gráfico sobre la base de los resultados obtenidos durante la investigación.

Al considerar solo ciertos puntos de esteCabe señalar que el cálculo diferencial resultó ser una herramienta muy exitosa para investigar la función. Existen conexiones bastante simples entre el comportamiento de la función y las características de su derivada. Para resolver este problema, es suficiente calcular la primera y segunda derivadas.

Considere el orden de encontrar los intervalos de disminución, aumentando la función, también recibieron el nombre de intervalos de monotonicidad.

Para esto, es suficiente para determinar el signo de la primeraderivado en un cierto intervalo. Si es constantemente mayor que cero en un segmento, entonces podemos juzgar con seguridad el aumento monotónico de la función en este rango, y viceversa. Los valores negativos de la primera derivada caracterizan la función como monótonamente decreciente.

Usando la derivada calculada, determinamosLas secciones del gráfico, llamadas convexidades, y también las concavidades de la función. Se demuestra que si en el curso de los cálculos la derivada de la función es continua y negativa, entonces esto indica convexidad, la continuidad de la segunda derivada y su valor positivo indican la concavidad del gráfico.

Encontrar el momento cuando hay un cambio de signola segunda derivada o áreas donde no existe indica la definición del punto de inflexión. Es el límite en los intervalos de convexidad y concavidad.

Una investigación completa de la función no termina conlos puntos anteriores, pero el uso del cálculo diferencial simplifica enormemente este proceso. En este caso, los resultados del análisis tienen un grado máximo de confiabilidad, lo que permite construir un gráfico que corresponde completamente a las propiedades de las funciones que se estudian.